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Kryptographie ist eine spannende Angelegenheit. Es ist schließlich kein Kinderspiel, über eine nicht vertrauenswürdige Verbindung im Internet, wo jede Zwischenstation potenziell mitlesen oder Daten verändern kann, eine vertrauenswürdige und vertrauliche Verbindung herzustellen. Da ist es nicht weiter verwunderlich, dass immer wieder Leute neue goldig glänzende Protokolle erfinden, die zwar sicher aussehen, aber leider alles andere als sicher sind. Ein warnendes Beispiel ist mir die Tage über den Weg gelaufen.

Der Erfinder des Protokolls hat sich das sogenannte Socialist Millionaire Problem angesehen. Im Kern geht es um gegenseitige Beglaubigung: Alice und Bob haben ein gemeinsames Geheimnis (zum Beispiel ein Passwort), aber sich noch nie im Leben gesehen. Bei ihrem ersten Treffen wollen sie ihre Identität überprüfen, indem sie herausfinden, ob beide das Passwort kennen. Das ist natürlich nicht so leicht, denn wenn Alice das Passwort sagt, kann Bob zwar die Identität von Alice verifizieren, aber sie risikiert damit auch, einem Fremden das Passwort zu verraten, der sich dann gegenüber dem echten Bob als Alice ausgeben kann.

Das besondere am Socialist Millionaire Protokoll ist, dass es Alice und Bob nicht nur ermöglicht das Passwort zu überprüfen, sondern auch die Eigenschaft hat, dass ein heimlich lauschender Dritter oder jemand der sich nur als Alice oder Bob ausgegeben hat, keinerlei Informationen über das wahre Passwort herausbekommen kann. Diese Eigenschaft nennt man Zero-Knowledge-Proof und wie man sich vorstellen kann ist das im Internet irrsinnig praktisch um sich auf einem Server mit einem Passwort anzumelden. Allerdings ist es auch alles andere als trivial zu bewerkstelligen.

Die Details lassen sich bei Wikipedia nachlesen, aber der wichtigste mathematische Kniff ist eine Einwegfunktion der Form y = gx mod p.  Auf deutsch heißt das: potenziere die Zahl g mit x und schau welcher Rest bleibt, wenn man das Ergebnis durch p teilt. Wenn g (auch Generator genannt) und p (auch Modulus genannt) bekannt sind, kann man aus x sehr leicht y ausrechnen, aber umgekehrt ist es sehr schwierig aus y wieder x zu bekommen. Die einzige Ausnahme ist y=1, dann ist x=0.

Genau hieran stört sich auch der oben genannte Protokollerfinder, denn wenn man x=0 in die Einwegfunktion steckt, akzeptiert das Socialist Millionaire Protocol jedes beliebige Passwort. Allerdings ist das leicht zu vermeiden:  Wenn unser Gegenüber behauptet, er hätte bei seiner Einwegfunktion den Wert y=1 bekommen, versucht er uns gerade gewaltig übers Ohr zu hauen und wir hauen ihn ebenfalls übers Ohr. Mit einem großen Knüppel.

Diese Lösung ist unserem Experten aber zu billig. Sein Gegenvorschlag lautet, dass keine Partei seine Zahlen alleine wählen darf, sondern immer noch eine Zahl der anderen Partei, den Obfuskator (Verschleierer), dazu addieren muss. Außerdem ist ihm die Mathe zu kompliziert, also lässt er die Teile weg, die ihm für die Sicherheit nicht relevant erscheinen. Im Ergebnis erhält man dann ein Protokoll wie das folgende:

Alice <— Netzwerk —> Bob
Alice und Bob wollen wissen, ob ihre Geheimnisse S_A und S_B gleich sind
Wählt Generator G_A
Wählt Obfuskator O_A1
Sendet an Bob G_A, O_A1
Wählt Modulus M_B
Wählt Obfuskator O_B1
Berechnet C_B = (G_A + O_B1)S_B mod (M_B + O_A1)
Wählt Generator G_B
Wählt Obfuskator O_B2
C_B, G_B, M_B, O_B1, O_B2 Sendet an Alice
Berechnet T_A = (G_A + O_B1)S_A mod (M_B + O_A1)
Prüft, ob T_A = C_B. Falls nein, Abbruch
Wählt Modulus M_A
Wählt Obfuskator O_A2
Berechnet C_A = (G_B + O_A2)S_A mod (M_A + O_B2)
Sendet an Bob C_A, M_A, O_A2
Berechnet T_B = (G_B + O_A2)S_B mod (M_A + O_B2)
Prüft, ob T_B = C_A. Falls nein, Abbruch
Alice und Bob wissen, dass S_A = S_B

Auf den ersten Blick sieht es ja ganz ordentlich aus. Das Passwort S_A beziehungsweise S_B wird niemals über das Netzwerk übertragen, sondern nur die mit der Einwegfunktion verschlüsselte Version. Das Protokoll ist auch korrekt: wenn Alice und Bob das gleiche Passwort kennen, kommt das am Ende immer so heraus. Aber ist es sicher?

Zunächst einmal schauen wir uns den Obfuskator an. Nehmen wir an, die böse Eve gibt sich als Bob aus und möchte einen ganz bestimmten Generator benutzen, zum Beispiel die Eins. Weil 1x=1 für jedes beliebige x ist, würde das Protokoll dann immer ergeben, dass die Passwörter gleich sind und Eve hätte sich erfolgreich als Bob ausgegeben. Leider gibt uns Alice den Generator G_A vor, aber das macht nichts: Wir wählen einfach unseren Obfuskator O_B1 = 1-G_A und behaupten gegenüber Alice scheinheilig, dass wir C_B=1 herausbekommen haben. Alice rechnet G_A+1-G_A=1 als Generator aus, womit auch T_A=1 wird, und schon ist das „Passwort“ akzeptiert.

Gut, damit hat sich der ganze Additionszauber als völlig nutzlos erwiesen, aber der Trick mit der Eins lässt sich ja wie schon beim originalen Socialist Millionaire Protocol leicht feststellen und durch adäquate Gewaltanwendung kurieren. Leider kommt es noch schlimmer.

Angenommen, Eve gibt sich gegenüber dem echten Bob als Alice aus und stößt das Protokoll ganz normal an, bis Bob C_B ausgerechnet und an Eve gesendet hat. Eve kann zwar die Einwegfunktion nicht umdrehen, aber sie weiß, dass C_B = (G_A + O_B1)S_B mod (M_B + O_A1) ist. G_A und O_A1 hat sie selbst gewählt, O_B1 und M_B hat ihr Bob zusammen mit C_B verraten. Wenn Bob jetzt mit dem Protokoll fortfährt, muss Eve nur mit ihren Obfuskatoren dafür sorgen, dass für C_A wieder genau die gleiche Rechnung zu lösen ist, was kein Problem ist, weil Bob seine Werte G_B und O_B2 zuerst wählt und Eve sich darauf einstellen kann. Bob kann zwar feststellen, dass Eve wieder genau die gleiche Rechnung durchgeführt hat und deswegen das Passwort gar nicht kennen muss, aber niemand kann Eve daran hindern, sich gegenüber der echten Alice als Bob auszugeben und wieder diese Rechnung zu erzwingen. Alice hat keine Chance, den Betrug zu entdecken.

Genau genommen muss Eve nicht einmal aktiv am Protokoll teilnehmen; es reicht völlig aus, wenn sie Alice und Bob belauscht, und schon bekommt sie nicht nur einen, sondern sogar zwei Werte der Einwegfunktion geschenkt — bei jedem Durchlauf. Und damit ist das Protokoll vollständig gebrochen. Jeder Angreifer kann allein durch Mithören genug Informationen sammeln, um sich anschließend selbst als legitime Partei auszugeben. Das ist so ziemlich das Gegenteil von einem Zero-Knowledge-Proof.

Was lernen wir daraus? Erstens, kryptographische Protokolle zu entwerfen ist schwer. Schon kleine Details können die Sicherheit kompromittieren. Zweitens, dass das Passwort nicht im Klartext übertragen wird heißt noch lange nicht, dass es keine passwort-äquivalenten Informationen gibt, die ein Angreifer abhören und missbrauchen kann. Und drittens, die Kardinalregel bei Challenge-Response-Verfahren: der Angreifer darf niemals und unter keinen Umständen Einfluss auf die Challenge nehmen können.

Ich bin heute beim Surfen auf eine interessante Zahl gestoßen: der maximale quantenphysikalische Informationsgehalt des menschlichen Gehirns. Diese Zahl ist nicht zu verwechseln mit der geschätzten Kapazität eines Gehirns, um Gelerntes zu speichern, die ist mit rund 2 Petabytes vergleichsweise winzig. Vielmehr handelt es sich (grob gesagt) um die Menge an Information, die man übertragen muss, um ein menschliches Gehirn mit einem Transporter à la Star Trek an einem anderen Ort bis in den letzten Quantenzustand originalgetreu zu rekonstruieren. Unter der Annahme, dass der menschliche Geist allein über das Gehirn mit der physikalischen Welt interagiert, könnte man hochspekulativ vom Äquivalent eines menschlichen Bewusstseins sprechen.

Abgesehen davon, dass 1042 Bits gewisse Assoziationen wecken, sieht diese Zahl erst mal ziemlich nichtssagend aus. Deswegen habe ich mir ein bisschen Kontext verschafft: Das gesamte Internet mit allen Seiten auf allen Servern der Welt wird auf ungefähr 500 Millionen Terabytes geschätzt. Unsere Milchstraße hat etwa 100 Milliarden Sterne, und der gesamte Teil des Universums, den wir beobachten können, hat ungefähr 100 Milliarden Galaxien, damit kommen wir auf etwa 1022 Sterne im bekannten Universum.

Wenn um jeden einzelnen Stern des bekannten Universums ein Planet wie die Erde kreiste, auf der eine Zivilisation ein Internet wie das unsere hervorgebracht hätte, so wäre der gesamte Speicher all dieser Milliarden von Milliarden Internets gerade so ausreichend, um ein einziges menschliches Gehirn aufzunehmen. Viel eindrücklicher kann man sich die Einzigartigkeit eines Menschen kaum vor Augen führen.

Außerdem kommt sich mein Smartphone mit seinen 16 Gigabyte Speicher gerade ziemlich blöd vor.

Mein Fernseher kann „Full HD“. Das ist heutzutage nichts besonderes mehr. Die „volle“ HD-Auflösung entspricht einer Auflösung von 1080 Zeilen mit jeweils 1920 Bildpunkten. DVDs kriegt man in Deutschland üblicherweise im digitalen PAL-Format, das sind 576 Bildzeilen,  die üblicherweise mit 720 Bildpunkten pro Zeile gespeichert werden. Als Zwischending benutzen die meisten HD-fähigen Fernsehsender 720 Zeilen mit je 1280 Bildpunkten. Für Kinoprojektoren werden Auflösungen bis zu 2160 Zeilen mit je 4096 Bildpunkten genutzt. Und wem das noch nicht genügt, der kann auf das 8K-Format zurückgreifen, das als Masterformat für Kinoproduktionen verwendet wird und 4320 Zeilen mit je 8192 Bildpunkten hat.

Verschiedene Bildauflösungen von PAL bis 8K im Größenvergleich
Digitales PAL (720×576), „Abgespecktes“ HD (1280×720), „Volles“ HD (1920×1080), 4K (4096×2160) und 8K (8192×4320) im Größenvergleich

Da fragt man sich natürlich, wie weit das Spielchen noch getrieben werden kann, bis wir in ein paar Jahren den ersten Hersteller mit einer Million Bildpunkten pro Zeile auf der IFA begrüßen können.

Technisch mag das vielleicht sogar eines Tages im Bereich des Möglichen liegen, aber sinnvoll ist das nicht.

Vielleicht ist dem einen oder anderen schon aufgefallen, dass die 4K-Kinoauflösung gerade mal doppelt so groß wie die Full-HD-Auflösung ist, obwohl eine Kinoleinwand deutlich mehr als doppelt so groß wie ein Fernseher sein dürfte. Noch erstaunlicher ist, dass die meisten Kinos gar nicht in dieser hohen Auflösung arbeiten, sonden lediglich in 2048×1080, was mehr oder weniger der Full-HD-Auflösung des Fernsehers entspricht.

Das ist ein gutes Indiz dafür, dass es bei der Auflösung nicht so sehr auf die Größe ankommt. Wie jeder weiß, der schon mal ein Werbeplakat aus unmittelbarer Nähe gesehen hat, ist für diesen Druck eine Bildpunktgröße üblich, die selbst ein Kindergartenkind mit Fingerfarben unterbieten kann. Wir merken das nur nicht, weil wir uns normalerweise von einem Plakat deutlich weiter weg befinden als von der doppelseitigen Hochglanzanzeige in einer Zeitschrift.

Ob wir einzelne Bildpunkte unterscheiden können, hängt nämlich vom Verhältnis zwischen Bildgröße und Betrachtungsabstand ab. Üblicherweise misst man dieses Verhältnis über den Winkel zwischen den Strahlen, die von den beiden Punkten ins Auge des Betrachters laufen. Die meisten Leute kennen aus der Schule hauptsächlich das Grad (360° sind eine volle Umdrehung, 90° ist ein rechter Winkel). Wenn ein Grad immer noch zu grob eingeteilt ist, geht man zu Winkelminuten (60′ = 1°) und Winkelsekunden (60“=1′, 3600“=60’=1°) über.

Menschen mit normalem Sehvermögen (Visus 1,0) haben ein Auflösungsvermögen von 1′. Das theoretische Limit liegt bei 0.3′, das ist nämlich der Abstand, in dem die einzelnen Sehzellen am schärfsten Punkt des menschlichen Sehens auseinander liegen. Das Gebrauchsblickfeld eines Menschen hat eine Ausdehnung von etwa 20°. Das bedeutet, dass wir Punkte, die außerhalb dieses 20°-Kegels liegen, nur anvisieren können, indem wir entweder den Kopf bewegen oder unsere Augen bewusst anstrengen. Das maximale Blickfeld, das wir horizontal mit beiden Augen zugleich erfassen können, liegt bei 60°.

Da ein Filmabend nicht anstrengend sein sollte, muss das Bild (oder zumindest die Teile des Bildes, die wir üblicherweise anvisieren wollen) innerhalb unseres Gebrauchsblickfeldes liegen. Gehen wir davon aus, dass uns in erster Linie die Bildmitte interessiert, dann sollte das Bild etwa 40° unseres Gesichtsfeldes einnehmen. Zum Vergleich: Dafür muss ich von meinem 19-Zoll-Monitor etwa 40 Zentimeter entfernt sitzen. Für einen Normalsichtigen braucht eine Bildzeile in diesem Betrachtungsabstand dementsprechend 2400 Bildpunkte (40° / 1′).  Ein extrem scharfsichtiger Mensch benötigt 4800 Bildpunkte. Das theoretische Limit, das unsere Sehzellen überhaupt auflösen könnten, liegt bei rund 8000 Bildpunkten.

Für normale Menschen ist also die derzeitige HD-Auflösung bereits ziemlich nah am Optimum, vor allem wenn man bedenkt, dass die meisten Leute eher etwas weiter vom Fernseher weg sitzen wollen. Spätestens mit der 8K-Auflösung von 8192 Bildpunkten pro Bildzeile können selbst Wanderfalken auf den gewählten Betrachtungsabstand nicht mehr einzelne Bildpunkte unterscheiden.

Im vorherigen Teil dieser kleinen Reihe haben wir festgestellt, dass die Gesetze der Wahrscheinlichkeit uns dabei helfen, Wissen über einen nicht direkt zu beobachtenden Gegenstand zu erlangen. Dabei sind wir immer einem Drei-Schritte-Plan gefolgt. Zuerst haben wir unser Experiment vorbereitet, indem wir eine weiße Murmel in das Säckchen mit der unbekannten Murmel gelegt haben. Dann haben wir das Experiment durchgeführt, indem wir eine Murmel gezogen haben. Zu guter Letzt haben wir das Ergebnis unseres Versuchs überprüft: schwarz oder weiß?

Wer sich bei dieser Beschreibung an seinen Physik- oder Chemieunterricht erinnert fühlt: Es gibt tatsächlich einen Zusammenhang mit der empirischen Methode in der Wissenschaft. Die versteckte Murmel entspricht dabei einer These, die entweder wahr oder falsch sein kann. Im besten Fall kann ich mir ein Experiment ausdenken, mit dem ich den Wahrheitsgehalt direkt überprüfen kann. Das ist quasi so, als ob ich die Murmel einfach aus dem Säckchen nehme und sie mir anschaue. Häufig habe ich aber das Problem, dass es ein solches Experiment nicht gibt. Nehmen wir zum Beispiel die Gravitation auf der guten alten Erde. Meine These lautet: Wenn ich einen Apfel in die Hand nehme und ihn loslasse, wird er immer herunterfallen. Diese Aussage kann ich streng genommen nicht beweisen. Wenn ich den Apfel fallen lasse und er schwebt davon, weiß ich, dass meine These falsch ist. Wenn der Apfel allerdings brav zu Boden fällt, weiß ich nur, dass es einmal geklappt hat. Denn selbst wenn es tausend Mal klappt, garantiert mir keiner, dass es beim 1001. Versuch nicht doch schiefgeht.

Genau hier eilt uns das Murmelziehen zu Hilfe. Mag ja sein, dass wir nicht 100% garantieren können, dass die These stimmt/die Murmel weiß ist. Aber wenn wir das Experiment nur oft genug wiederholen, können wir den Zweifel beliebig klein werden lassen. Wenn auch nach dem tausendsten Versuch immer noch keine schwarze Murmel aufgetaucht ist, können wir uns schon verdammt sicher sein. Jeder normale Mensch wird sagen: Die These stimmt.

Der feine Unterschied zwischen „exakt 100%“ und „so nahe an 100% wie du kommst bis dir beim Experimentieren langweilig wird“ spielt im Alltag eigentlich keine Rolle. Er wird aber gelegentlich als rhetorischer Trick ausgenutzt.  „Sie behaupten also, dass ein Dutzend unabhängige Studien zum Ergebnis gekommen sind, dass meine Energiekristall-Anhänger nicht vor Krankheiten schützen. Das beweist aber nicht, dass sie nicht doch wirken.“ Was soll ein ehrlicher Wissenschaftler darauf antworten? „Doch“ wäre gelogen. Aber für den mathematisch Uneingeweihten wird so aus der kleinen Zweifelsmücke eine ganze Elefantenherde gemacht. Da kann der Wissenschaftler noch so sehr die Arme hochreißen und die Unwahrscheinlichkeit beteuern, in den Augen des Publikums hat er verloren.

Wir fallen darauf aber nicht mehr rein.

Im ersten Teil dieser kleinen Reihe habe ich mich damit auseinander gesetzt, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine gute Methode sind, um mein Wissen über ein Ereignis mathematisch zu modellieren. Dann habe ich behauptet, dass man die Farbe einer Murmel in einem Stoffsäckchen herauskriegen kann, ohne in das Säckchen hineinsehen zu müssen.

Jetzt haben wir also das ominöse Stoffsäckchen des geheimnisvollen Mannes mit einer Murmel darin, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder schwarz oder weiß sein könnte. Alternativ könnte man auch sagen, die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel aus dem Säckchen zu ziehen, liegt bei 50 Prozent. Das ist uns aber ein bisschen wenig. Also greifen wir zum einfachsten Trick der Welt, um unsere Chancen zu steigern: mit einen triumphierenden Grinsen ziehen wir eine weiße Murmel aus der Tasche und lassen sie ebenfalls im Säckchen verschwinden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen, jetzt? Zur Veranschaulichung betrachten wir die folgende Illustration:

Wir haben zwei mögliche Inhalte für das Stoffsäckchen, und beim Ziehen können wir jeweils eine von zwei Murmeln erwischen. Schon rein optisch deutet sich an, dass wir jetzt eine 75% Chance haben, eine weiße Murmel zu ziehen. Wir können auch folgende Überlegung anstellen. Mit 50% Wahrscheinlichkeit sind beide Murmeln weiß, dann hätten wir eine 100% Garantie, eine weiße Murmel zu ziehen. Mit 50% Wahrscheinlichkeit ist aber nur eine Murmel weiß, dann hätten wir nur eine 50% Chance auf eine weiße Murmel. Aufaddiert ergibt das P = 0,5 * 1 + 0,5 * 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75.

Jetzt grinst der Mann, der uns das Säckchen überreichte, und sagt: „Das ist aber geschummelt, einfach eine zweite Murmel in das Säckchen zu legen!“. Mit diesen Worten schüttelt er das Säckchen, greift blind hinein und zieht eine der beiden Murmel wieder heraus: es ist eine weiße Murmel. Jetzt sind wir auch nicht schlauer als vorher, denn die verbliebene Murmel kann ja immer noch weiß oder schwarz sein. Oder?

Das verdient einen zweiten Blick. Das Ziehen des geheimnisvollen Mannes unterliegt genau den Bedingungen, die wir gerade ausgerechnet haben. Es gibt also vier gleich wahrscheinliche Möglichkeiten, wie dieses Ziehen ausgehen kann:

  1. Beide Murmeln sind weiß, und der Mann hat die Murmel gezogen, die wir nachträglich hineingelegt haben.
  2. Beide Murmeln sind weiß, und der Mann hat die Murmel gezogen, die bereits im Säckchen lag.
  3. Nur unsere Murmel ist weiß, und der Mann hat sie auch gezogen.
  4. Nur unsere Murmel ist weiß, und der Mann hat die schwarze Murmel gezogen, die bereits im Säckchen lag.

Moment einmal, wird der aufmerksame Leser jetzt einwenden, der vierte Fall kann ja gar nicht eingetreten sein, weil wir gesehen haben, dass eine weiße Murmel gezogen wurde! Es kann also nur einer der ersten drei Fälle eingetreten sein. Und in zwei von den drei möglichen Fällen ist die Murmel, die im Säckchen verblieben ist, weiß. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine weiße Murmel im Säckchen vorfinden, ist damit tatsächlich gestiegen, sie liegt jetzt bei zwei Dritteln, also rund 67 Prozent!

Dieser Anstieg in der Wahrscheinlichkeit repräsentiert einen Wissensvorsprung, den wir erlangt haben. Wir haben nämlich etwas neues gelernt: der Mann hat beim Ziehen eine weiße Murmel erwischt. Wir wissen zwar immer noch nicht mit Sicherheit, welche Farbe die Murmel im Säckchen hat, aber da wir keine schwarze Murmel zu Gesicht gekriegt haben, tendieren wir ein kleines bisschen in Richtung weiß.

Dieses Experiment lässt sich übrigens auch wiederholen. Legen wir also wieder eine weiße Murmel hinein, schütteln und ziehen wir blind.  Jetzt haben wir wieder die vier möglichen Fälle von oben. Allerdings haben sich die Wahrscheinlichkeiten etwas zugunsten von Fall 1 und Fall 2 verschoben, weil ja mit 2/3 Wahrscheinlichkeit bereits eine weiße Murmel im Säckchen lag. Ziehen wir eine schwarze Murmel, so ist die Sache klar: es muss ursprünglich eine schwarze Murmel im Säckchen gelegen haben. Ziehen wir dagegen eine weiße Murmel, so müssen wir wieder rechnen. Fall 1 und 2 hatten jeweils eine 1/3 Wahrscheinlichkeit (0.5 * 2/3), und Fall 3 und Fall 4 eine 1/6 Wahrscheinlichkeit (0.5 * 1/3).  Fall 4 fällt weg, weil die gezogene Murmel weiß ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Murmel im Säckchen auf 80 Prozent gestiegen. Unglaublich aber wahr: wir können die Farbe der Murmel im Säckchen quasi „indirekt“ beobachten, sozusagen Sehen ohne Hinschauen.

Wem das jetzt ein bisschen schwarzmagisch vorkommt, dem hilft vielleicht folgende Überlegung: Angenommen, es liegt eine schwarze Murmel im Säckchen. Jedes Mal, wenn wir jetzt eine weiße Murmel hinzufügen und danach schütteln und ziehen, haben wir eine 50% Chance, die schwarze Murmel zu erwischen. Wenn wir also permanent weiße Murmeln aus dem Säckchen fischen, dann ist das im Prinzip so, als ob wir beim Münzwurf immer nur Zahl treffen. Natürlich könnten wir unwahrscheinliches Glück haben. Aber je häufiger wir dieses Spielchen wiederholen, desto mehr können wir davon überzeugt sein, dass es keine schwarze Murmel gibt, weil wir sie ja nie zu Gesicht bekommen. Mathematisch zeigt sich das darin, dass die Wahrscheinlichkeit sich immer mehr den 100 Prozent annähert, sie aber nie genau erreichen wird.

Das ganze Murmelziehen mag auf den einen oder anderen ein bisschen weltfremd wirken, aber das dahinterliegende Prinzip hat durchaus auch Anwendungen in der realen Welt. Mehr dazu im dritten Teil dieser Reihe.

Wie viel Pi braucht der Mensch?

Veröffentlicht: 28.06.2011 in Mathematik

Die Kreiszahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, das haben viele Leute schon in der Schule gelernt. Dank moderner Computer kennt man inzwischen bereits die ersten 5 Billionen Nachkommastellen, was beeindruckend klingt, bis man sich klar macht, dass 5 Billionen von unendlich viel immer noch nichts ist. Eine viel interessantere Frage ist, wie viele Nachkommastellen von Pi man in der Praxis wirklich braucht.

Die Kreiszahl gibt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises an. Je genauer man Pi kennt, desto genauer kann man aus der einen Größe die andere berechnen. Aber wie genau ist denn genau genug? Wenden wir uns einfach der Physik zu. Die kleinste sinnvolle Länge in unserem Universum ist die Planck-Länge. Abgerundet entspricht sie 10-35 = 0,00000000000000000000000000000000001 Metern. Kürzere Entfernungen gibt es schlicht und ergreifend nicht. Gehen wir an das andere Ende der Größenskala, nämlich den Radius des beobachtbaren Universums. Großzügig aufgerundet wäre das eine Kugel mit dem Durchmesser von 100 Milliarden Lichtjahren. Ein Lichtjahr sind aufgerundet 1016 Meter, also hätten wir einen Durchmesser von 1027 Metern, oder 1062 Planck-Längen.

Wenn wir jetzt den Umfang des beobachtbaren Universums auf Planck-Länge genau bestimmen wollen, müssen wir so viele Ziffern von Pi benutzen, wie unser Durchmesser in Planck-Längen Stellen vor dem Komma hat. Die Zahl 1062 ist eine 1 mit 62 Nullen, macht also 63 Stellen von Pi. Mit anderen Worten: Für einen Kreis bzw. eine Kugel, die alles enthält, was wir jemals im Universum beobachten können werden, genügend bereits lächerliche 62 Nachkommastellen von Pi, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit theoretisch maximal möglicher Präzision zu bestimmen, die weit jenseits von dem liegt, was wir überhaupt messen können. Der HERA-Teilchenbeschleuniger zum Beispiel schafft „nur“ Längen bis 10-20 Meter sichtbar zu machen: würde man die Planck-Länge auf die Dicke eines menschlichen Haars ausdehnen, könnte man in die HERA-Auflösung immer noch unser ganzes Sonnensystem packen. Mehrere hundert Mal.

Das Bösartige an der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, dass es häufig eine offensichtliche, aber falsche Lösung gibt. Der Mensch ist erstaunlich schlecht darin, Wahrscheinlichkeiten korrekt abzuschätzen. Ironischerweise spielt die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Künstlichen Intelligenz dafür eine umso größere Rolle.

Fangen wir einfach an. Ein Mann zeigt mir ein Stoffsäckchen, in dem sich eine Murmel befindet. Er sagt, dass die Murmel entweder schwarz oder weiß sein könne. Wie wahrscheinlich ist es, eine weiße Murmel aus dem Stoffsack zu ziehen? Die intuitive Antwort lautet: 50 Prozent. Da gibt es nur ein Problem: Woher weiß ich überhaupt, dass der Mann nicht einfach eine rote Murmel hineingelegt hat und mir anschließend einen vom Pferd erzählt? Gut, gehen wir also davon aus, dass die Murmel tatsächlich entweder schwarz oder weiß ist. Aber der Mann könnte ja vorher bewusst eine schwarze Murmel hineingelegt haben. So oder so hätte ich keine Chance, eine weiße Murmel aus dem Säckchen zu ziehen.

Die 50:50-Wahrscheinlichkeit hat also offensichtlich mehr mit meinem Wissen (oder besser gesagt, meinem Nichtwissen) zu tun als mit der „objektiven“ Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen. Ich weiß eben nicht, ob die Murmel schwarz oder weiß ist, also ist für mich beides gleich wahrscheinlich. Zusätzliches Wissen würde mir helfen, eine bessere Abschätzung zu bekommen. Angenommen, ich habe diesen Mann bereits die vorherigen 100 Tage hintereinander getroffen und in dieser Zeit 80 schwarze und 20 weiße Murmeln gezogen. Dann wäre es schlau von mir, davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Murmel bei 20 Prozent liegt.

Diese Form von Wissen nennt man auch A-Priori-Wissen, weil ich es vor dem Ziehen schon habe und anwenden kann. Es ist Erfahrung, die man aus der Vergangenheit in die Zukunft überträgt. Die Erfahrung, dass nur sehr wenige Lose in einer Tombola gewinnen, hindert uns beispielsweise daran, dem schmierigen Verkäufer auf den Leim zu gehen, der uns weiß machen will, dass wir eine 50:50 Chance haben: entweder das Los gewinnt, oder es gewinnt nicht.

Wie kommt man dann jetzt zu einer „echten“ 50:50 Wahrscheinlichkeit? Eine Möglichkeit ist, dass der Mann mir zwei identische, leere Stoffsäckchen gibt, in die ich eine schwarze und eine weiße Murmel lege. Dann kommen beide Säckchen in eine Lostrommel, werden kräftig durcheinander gewirbelt, und anschließend darf ich eines der beiden Säckchen nehmen. Jetzt wissen wir, dass in dem Säckchen eine schwarze oder eine weiße Murmel ist, aber keiner weiß mehr, in welchem Säckchen welche Murmel ist. Der Akt des willkürlichen Mischens und Ziehens hat alles Wissen über den Inhalt der Säckchen „gelöscht“. Würde ich das Säckchen öffnen, wüsste ich genau, welche Farbe die Murmel hat und ob die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen, damit entweder 0 Prozent oder 100 Prozent ist. Solange ich aber diese Beobachtung nicht mache, bleibt es für mich bei der 50:50 Unwissenheit.

Zum Abschluss stellt sich die Frage, ob es denn jetzt außer der 50:50 Unwissenheit und der 100:0 totalen Sicherheit auch noch ein Zwischending gibt. Die faszinierende Antwort lautet: ja! Es gibt nämlich die Möglichkeit, Wissen über die Farbe der Murmel zu erlangen, ohne in das Säckchen hineinzuschauen. Das ist aber ein Thema für den nächsten Blogeintrag.