Wahrscheinlichkeiten (II): Sehen ohne Hinschauen

Veröffentlicht: 02.07.2011 in Mathematik

Im ersten Teil dieser kleinen Reihe habe ich mich damit auseinander gesetzt, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine gute Methode sind, um mein Wissen über ein Ereignis mathematisch zu modellieren. Dann habe ich behauptet, dass man die Farbe einer Murmel in einem Stoffsäckchen herauskriegen kann, ohne in das Säckchen hineinsehen zu müssen.

Jetzt haben wir also das ominöse Stoffsäckchen des geheimnisvollen Mannes mit einer Murmel darin, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder schwarz oder weiß sein könnte. Alternativ könnte man auch sagen, die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel aus dem Säckchen zu ziehen, liegt bei 50 Prozent. Das ist uns aber ein bisschen wenig. Also greifen wir zum einfachsten Trick der Welt, um unsere Chancen zu steigern: mit einen triumphierenden Grinsen ziehen wir eine weiße Murmel aus der Tasche und lassen sie ebenfalls im Säckchen verschwinden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen, jetzt? Zur Veranschaulichung betrachten wir die folgende Illustration:

Wir haben zwei mögliche Inhalte für das Stoffsäckchen, und beim Ziehen können wir jeweils eine von zwei Murmeln erwischen. Schon rein optisch deutet sich an, dass wir jetzt eine 75% Chance haben, eine weiße Murmel zu ziehen. Wir können auch folgende Überlegung anstellen. Mit 50% Wahrscheinlichkeit sind beide Murmeln weiß, dann hätten wir eine 100% Garantie, eine weiße Murmel zu ziehen. Mit 50% Wahrscheinlichkeit ist aber nur eine Murmel weiß, dann hätten wir nur eine 50% Chance auf eine weiße Murmel. Aufaddiert ergibt das P = 0,5 * 1 + 0,5 * 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75.

Jetzt grinst der Mann, der uns das Säckchen überreichte, und sagt: „Das ist aber geschummelt, einfach eine zweite Murmel in das Säckchen zu legen!“. Mit diesen Worten schüttelt er das Säckchen, greift blind hinein und zieht eine der beiden Murmel wieder heraus: es ist eine weiße Murmel. Jetzt sind wir auch nicht schlauer als vorher, denn die verbliebene Murmel kann ja immer noch weiß oder schwarz sein. Oder?

Das verdient einen zweiten Blick. Das Ziehen des geheimnisvollen Mannes unterliegt genau den Bedingungen, die wir gerade ausgerechnet haben. Es gibt also vier gleich wahrscheinliche Möglichkeiten, wie dieses Ziehen ausgehen kann:

  1. Beide Murmeln sind weiß, und der Mann hat die Murmel gezogen, die wir nachträglich hineingelegt haben.
  2. Beide Murmeln sind weiß, und der Mann hat die Murmel gezogen, die bereits im Säckchen lag.
  3. Nur unsere Murmel ist weiß, und der Mann hat sie auch gezogen.
  4. Nur unsere Murmel ist weiß, und der Mann hat die schwarze Murmel gezogen, die bereits im Säckchen lag.

Moment einmal, wird der aufmerksame Leser jetzt einwenden, der vierte Fall kann ja gar nicht eingetreten sein, weil wir gesehen haben, dass eine weiße Murmel gezogen wurde! Es kann also nur einer der ersten drei Fälle eingetreten sein. Und in zwei von den drei möglichen Fällen ist die Murmel, die im Säckchen verblieben ist, weiß. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine weiße Murmel im Säckchen vorfinden, ist damit tatsächlich gestiegen, sie liegt jetzt bei zwei Dritteln, also rund 67 Prozent!

Dieser Anstieg in der Wahrscheinlichkeit repräsentiert einen Wissensvorsprung, den wir erlangt haben. Wir haben nämlich etwas neues gelernt: der Mann hat beim Ziehen eine weiße Murmel erwischt. Wir wissen zwar immer noch nicht mit Sicherheit, welche Farbe die Murmel im Säckchen hat, aber da wir keine schwarze Murmel zu Gesicht gekriegt haben, tendieren wir ein kleines bisschen in Richtung weiß.

Dieses Experiment lässt sich übrigens auch wiederholen. Legen wir also wieder eine weiße Murmel hinein, schütteln und ziehen wir blind.  Jetzt haben wir wieder die vier möglichen Fälle von oben. Allerdings haben sich die Wahrscheinlichkeiten etwas zugunsten von Fall 1 und Fall 2 verschoben, weil ja mit 2/3 Wahrscheinlichkeit bereits eine weiße Murmel im Säckchen lag. Ziehen wir eine schwarze Murmel, so ist die Sache klar: es muss ursprünglich eine schwarze Murmel im Säckchen gelegen haben. Ziehen wir dagegen eine weiße Murmel, so müssen wir wieder rechnen. Fall 1 und 2 hatten jeweils eine 1/3 Wahrscheinlichkeit (0.5 * 2/3), und Fall 3 und Fall 4 eine 1/6 Wahrscheinlichkeit (0.5 * 1/3).  Fall 4 fällt weg, weil die gezogene Murmel weiß ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Murmel im Säckchen auf 80 Prozent gestiegen. Unglaublich aber wahr: wir können die Farbe der Murmel im Säckchen quasi „indirekt“ beobachten, sozusagen Sehen ohne Hinschauen.

Wem das jetzt ein bisschen schwarzmagisch vorkommt, dem hilft vielleicht folgende Überlegung: Angenommen, es liegt eine schwarze Murmel im Säckchen. Jedes Mal, wenn wir jetzt eine weiße Murmel hinzufügen und danach schütteln und ziehen, haben wir eine 50% Chance, die schwarze Murmel zu erwischen. Wenn wir also permanent weiße Murmeln aus dem Säckchen fischen, dann ist das im Prinzip so, als ob wir beim Münzwurf immer nur Zahl treffen. Natürlich könnten wir unwahrscheinliches Glück haben. Aber je häufiger wir dieses Spielchen wiederholen, desto mehr können wir davon überzeugt sein, dass es keine schwarze Murmel gibt, weil wir sie ja nie zu Gesicht bekommen. Mathematisch zeigt sich das darin, dass die Wahrscheinlichkeit sich immer mehr den 100 Prozent annähert, sie aber nie genau erreichen wird.

Das ganze Murmelziehen mag auf den einen oder anderen ein bisschen weltfremd wirken, aber das dahinterliegende Prinzip hat durchaus auch Anwendungen in der realen Welt. Mehr dazu im dritten Teil dieser Reihe.

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Kommentare
  1. zehkah sagt:

    W U N D E R B A R ! ! !

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