Wahrscheinlichkeiten (I): Von schwarzen und weißen Murmeln

Veröffentlicht: 28.06.2011 in Mathematik

Das Bösartige an der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, dass es häufig eine offensichtliche, aber falsche Lösung gibt. Der Mensch ist erstaunlich schlecht darin, Wahrscheinlichkeiten korrekt abzuschätzen. Ironischerweise spielt die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Künstlichen Intelligenz dafür eine umso größere Rolle.

Fangen wir einfach an. Ein Mann zeigt mir ein Stoffsäckchen, in dem sich eine Murmel befindet. Er sagt, dass die Murmel entweder schwarz oder weiß sein könne. Wie wahrscheinlich ist es, eine weiße Murmel aus dem Stoffsack zu ziehen? Die intuitive Antwort lautet: 50 Prozent. Da gibt es nur ein Problem: Woher weiß ich überhaupt, dass der Mann nicht einfach eine rote Murmel hineingelegt hat und mir anschließend einen vom Pferd erzählt? Gut, gehen wir also davon aus, dass die Murmel tatsächlich entweder schwarz oder weiß ist. Aber der Mann könnte ja vorher bewusst eine schwarze Murmel hineingelegt haben. So oder so hätte ich keine Chance, eine weiße Murmel aus dem Säckchen zu ziehen.

Die 50:50-Wahrscheinlichkeit hat also offensichtlich mehr mit meinem Wissen (oder besser gesagt, meinem Nichtwissen) zu tun als mit der „objektiven“ Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen. Ich weiß eben nicht, ob die Murmel schwarz oder weiß ist, also ist für mich beides gleich wahrscheinlich. Zusätzliches Wissen würde mir helfen, eine bessere Abschätzung zu bekommen. Angenommen, ich habe diesen Mann bereits die vorherigen 100 Tage hintereinander getroffen und in dieser Zeit 80 schwarze und 20 weiße Murmeln gezogen. Dann wäre es schlau von mir, davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Murmel bei 20 Prozent liegt.

Diese Form von Wissen nennt man auch A-Priori-Wissen, weil ich es vor dem Ziehen schon habe und anwenden kann. Es ist Erfahrung, die man aus der Vergangenheit in die Zukunft überträgt. Die Erfahrung, dass nur sehr wenige Lose in einer Tombola gewinnen, hindert uns beispielsweise daran, dem schmierigen Verkäufer auf den Leim zu gehen, der uns weiß machen will, dass wir eine 50:50 Chance haben: entweder das Los gewinnt, oder es gewinnt nicht.

Wie kommt man dann jetzt zu einer „echten“ 50:50 Wahrscheinlichkeit? Eine Möglichkeit ist, dass der Mann mir zwei identische, leere Stoffsäckchen gibt, in die ich eine schwarze und eine weiße Murmel lege. Dann kommen beide Säckchen in eine Lostrommel, werden kräftig durcheinander gewirbelt, und anschließend darf ich eines der beiden Säckchen nehmen. Jetzt wissen wir, dass in dem Säckchen eine schwarze oder eine weiße Murmel ist, aber keiner weiß mehr, in welchem Säckchen welche Murmel ist. Der Akt des willkürlichen Mischens und Ziehens hat alles Wissen über den Inhalt der Säckchen „gelöscht“. Würde ich das Säckchen öffnen, wüsste ich genau, welche Farbe die Murmel hat und ob die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Murmel zu ziehen, damit entweder 0 Prozent oder 100 Prozent ist. Solange ich aber diese Beobachtung nicht mache, bleibt es für mich bei der 50:50 Unwissenheit.

Zum Abschluss stellt sich die Frage, ob es denn jetzt außer der 50:50 Unwissenheit und der 100:0 totalen Sicherheit auch noch ein Zwischending gibt. Die faszinierende Antwort lautet: ja! Es gibt nämlich die Möglichkeit, Wissen über die Farbe der Murmel zu erlangen, ohne in das Säckchen hineinzuschauen. Das ist aber ein Thema für den nächsten Blogeintrag.

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